Espérance de gain (EV) au poker : décider avec les maths

L’EV poker, ou espérance de gain, est le montant qu’une action rapporte ou coûte en moyenne si on la répète un très grand nombre de fois dans la même situation. On la calcule en multipliant chaque issue possible par sa probabilité, puis en additionnant. Entre deux options, la bonne est celle qui a l’EV la plus élevée, même si elle perd le coup en cours.

La formule

EV = Σ (probabilité de l’issue × gain ou perte de l’issue)

Le point de référence compte : on mesure les gains et pertes à partir du moment de la décision. L’argent déjà mis au pot ne vous appartient plus, il fait partie de ce qui se gagne. Se coucher a donc toujours une EV de 0 : on ne gagne ni ne perd rien de plus. Toute action dont l’EV est positive vaut mieux que le fold.

Pour un call simple, la formule devient :

EV(call) = p × (pot actuel) − (1 − p) × (montant à payer), où p est la probabilité de gagner et le pot actuel inclut la mise adverse.

Un call à la river

River, pot de 150 €. L’adversaire mise 100 €, le pot passe à 250 €. Vous avez une main qui ne bat que ses bluffs. La question se ramène à une seule estimation : quelle part de ses mises de 100 € dans 150 € est du bluff ?

• S’il bluffe 35 % du temps : 0,35 × 250 − 0,65 × 100 = +22,50 €. Call.
• S’il bluffe 20 % du temps : 0,20 × 250 − 0,80 × 100 = −30 €. Fold.
• Seuil d’équilibre : 100 / (250 + 100) = 28,6 % de bluffs.

Un call à +22,50 € perd pourtant 65 % du temps. Sur cent répétitions, il perd 65 fois 100 € et gagne 35 fois 250 € : un bénéfice net de 2 250 €, soit 22,50 € par coup. C’est la logique de toutes les décisions d’EV : le résultat d’un coup isolé ne dit rien, la moyenne dit tout.

Un bluff

River, pot de 90 €. Vous avez raté votre tirage et envisagez de miser 60 €.

EV(bluff) = f × 90 − (1 − f) × 60, où f est la fréquence de fold de l’adversaire.

• Seuil : f = 60 / (60 + 90) = 40 %.
• Si l’adversaire se couche une fois sur deux : 0,5 × 90 − 0,5 × 60 = +15 €.
• S’il se couche une fois sur quatre : 0,25 × 90 − 0,75 × 60 = −22,50 €.

Comparé au check, qui rapporte 0 € avec une main sans aucune chance à l’abattage, le bluff vaut la peine au-dessus de 40 % de folds. Si votre main a encore un peu d’équité en checkant (une hauteur As qui bat parfois les tirages adverses manqués), le seuil monte, parce que l’option check rapporte alors quelque chose.

Fold equity : l’EV d’un semi-bluff à tapis

Le semi-bluff combine les deux calculs : il gagne quand l’adversaire se couche (la fold equity) et garde de l’équité quand il paie.

Exemple : flop A♥ 7♥ 2♣, pot de 40 €. Vous avez Q♥ J♥ (tirage couleur), l’adversaire A♠ K♦ (top paire). Vous partez à tapis pour 100 €, tapis effectif. Contre cette main, votre équité est de 37,7 %.

• Si l’adversaire paie toujours : vous gagnez 140 € (pot + son call) 37,7 % du temps et perdez 100 € le reste du temps. EV = 0,377 × 140 − 0,623 × 100 = −9,57 €.
• Seuil de fold : f × 40 = (1 − f) × 9,57, soit f = 19,3 %.
• S’il se couche 30 % du temps (une partie de sa fourchette n’a pas l’As) : EV = 0,30 × 40 + 0,70 × (−9,57) = +5,30 €.

Un peu moins d’un fold sur cinq suffit à rendre rentable ce tapis, alors qu’un bluff pur de la même taille demanderait 100 / 140, soit 71 % de folds. L’équité du tirage fait le gros du travail, la fold equity complète. Je pousse ces tirages beaucoup plus volontiers au flop qu’à la turn, où l’équité tombe à 19,6 % avec une seule carte à venir.

EV et résultat

Un joueur qui met son tapis avec A♠ A♥ contre K♦ K♣, pour 100 € chacun, a 81,3 % d’équité dans un pot de 200 €. Son EV vaut 0,8126 × 200 − 100, soit environ +62,50 € par tapis. Qu’il gagne ou qu’il perde ce coup précis, la décision lui a rapporté 62,50 € en espérance. Son adversaire, lui, a perdu 62,50 € en espérance en payant, même le jour où les Rois tiennent grâce à un Roi à la river.

À l’inverse, payer un tapis avec un tirage sans la cote nécessaire et toucher sa carte donne un résultat positif pour une décision négative. Sur un petit nombre de coups, les deux se confondent ; sur des dizaines de milliers de mains, le résultat converge vers la somme des EV.

Les trackers affichent les deux courbes : les gains réels et une courbe « all-in EV » qui remplace le résultat de chaque tapis par son espérance. L’écart entre les deux mesure la chance pure sur les tapis ; il ne dit rien des décisions prises avant le tapis.

J’ai pris l’habitude de regarder la courbe EV avant la courbe réelle après chaque mois de jeu : elle évite de tirer des conclusions d’un mois chanceux ou malchanceux.

Estimer les probabilités

Le calcul d’EV est exact ; ce sont les probabilités qu’on y met qui sont incertaines. Trois sources permettent de les rendre plus fiables :

• Les statistiques du HUD : le pourcentage de fold face à un c-bet, la fréquence d’abattage (WTSD) ou le taux de victoire à l’abattage (W$SD) donnent des estimations chiffrées, à condition d’avoir plusieurs centaines de mains sur le joueur.
• Le comptage de combinaisons : reconstituer la fourchette adverse et compter ses combinaisons de valeur et de bluff donne une fréquence de bluff défendable, plutôt qu’une impression.
• Les tendances de population : aux petites limites, la plupart des joueurs bluffent moins la river que l’équilibre ne le voudrait. Sans information sur l’adversaire, c’est une hypothèse de départ raisonnable, qui pousse à se coucher plus souvent face aux grosses mises de river.

Une estimation imparfaite vaut mieux que pas d’estimation. Un call décidé avec « il bluffe peut-être un quart du temps » se corrige à la relecture ; un call pris sans aucun chiffre ne se corrige pas.

Comparer plusieurs options

La plupart des décisions offrent plus de deux options. Turn, vous avez une main moyenne, l’adversaire checke. Miser, checker : chaque branche a sa propre EV, qui dépend de la suite du coup. Le calcul complet se fait hors de la table, avec des estimations :

• Miser : gain quand il se couche, gain quand il paie avec pire, perte quand il paie ou relance avec mieux.
• Checker : gain à l’abattage contre ses mains plus faibles, perte quand il mise la river avec mieux et que vous payez, gain quand il bluffe la river et que vous payez.

Personne ne remplit cet arbre à la table, mais le réflexe de comparer les branches, même grossièrement, change la qualité des décisions. Les solveurs font ce calcul exhaustivement pour chaque main d’une range.

EV en jetons et EV en euros

En cash game, un jeton vaut sa valeur faciale : l’EV en jetons et l’EV en euros se confondent. En tournoi, ce n’est plus vrai. Doubler son tapis ne double pas sa part du prize pool, et perdre son tapis élimine. À l’approche de la bulle, puis à la table finale, une décision positive en jetons (« chip EV ») peut être négative en argent réel. L’ICM sert précisément à convertir les tapis en valeur monétaire pour corriger ces décisions.