Maths du poker : outs, cotes et équité sans prise de tête

Les probabilités poker se résument à une poignée de chiffres : une paire précise arrive une fois sur 221, une petite paire touche son brelan au flop dans 11,8 % des cas, un tirage couleur rentre environ une fois sur trois. Tous découlent d’un même calcul de combinaisons sur 52 cartes. Le reste des maths du poker consiste à comparer ces chances au prix demandé pour continuer.

Les chiffres avant le flop

Deux cartes parmi 52 donnent 1 326 combinaisons. Les fréquences de départ en découlent directement.

Le dernier chiffre explique pourquoi la paire de Rois ne se jette presque jamais préflop en cash game avec 100 BB : la paire d’As en face reste rare, même quand l’action devient très agressive. À neuf joueurs, la probabilité qu’un des huit adversaires ait AA monte à environ 3,8 %.

Les chiffres au flop

Jusqu’à la river, ces chiffres montent : une paire servie finit en brelan ou mieux dans 19,2 % des cas si l’on voit les cinq cartes, deux cartes assorties font la couleur dans 6,4 % des cas. Deux fois sur trois, deux cartes non appariées ratent le flop : c’est la base mathématique du continuation bet.

Les flops eux-mêmes

Indépendamment de vos cartes, la composition du flop suit aussi des fréquences fixes, utiles pour anticiper la texture du board :

• Trois couleurs différentes (flop « arc-en-ciel ») : 39,8 % ;
• Deux cartes de la même couleur : 55,1 % ;
• Trois cartes de la même couleur (flop monochrome) : 5,2 % ;
• Flop apparié ou brelan au board : 17,2 %, dont 0,24 % pour un brelan servi au milieu de la table.

Plus d’un flop sur deux offre donc un tirage couleur possible à quelqu’un. Sur un flop monochrome, un joueur sans carte de la couleur doit garder en tête qu’une couleur faite est déjà possible chez l’adversaire, et qu’une quatrième carte de la couleur à la turn arrive dans un peu plus d’un cas sur cinq (21,3 %).

Outs et cotes du pot

Après le flop, on ne parle plus de combinaisons de départ mais d’outs : les cartes restantes qui améliorent votre main en main gagnante. Un tirage couleur en a 9, une quinte ouverte des deux côtés 8, un tirage ventral 4. La règle du 2 et du 4 donne une estimation rapide de vos chances : outs × 2 pour une carte à venir, outs × 4 pour deux.

Ce pourcentage se compare à la cote du pot, c’est-à-dire la part du pot final que représente votre call. Quand l’adversaire mise la moitié du pot, payer représente 25 % du pot final : avec un tirage couleur sur une carte (19,6 %), le call ne se justifie pas par la seule probabilité. À la turn, sans gain possible sur la river, le fold s’impose donc face à cette taille de mise.

Cotes implicites et cotes inversées

La cote du pot ne regarde que l’argent déjà au milieu. Les cotes implicites ajoutent l’argent que vous gagnerez plus tard quand votre tirage rentre : c’est ce qui rend le set mining rentable avec des tapis profonds, malgré une chance sur 8,5 seulement. Les cotes inversées font le chemin opposé : l’argent perdu quand vous touchez votre main mais que l’adversaire a mieux, comme une couleur au 7 contre une couleur au Roi.

Équité : la part du pot qui vous revient

L’équité est la part du pot que vous gagneriez en moyenne si la main était rejouée à l’infini à partir du même point. Quelques valeurs de référence, calculées sur toutes les distributions possibles :

• A♠ A♥ contre K♦ K♣ : environ 81 à 82 % pour les As selon les couleurs ;
• une paire contre deux cartes plus hautes (2♠ 2♥ contre A♣ K♦) : environ 53 / 47 ;
• une main dominée (A♣ K♦ contre A♥ Q♣) : environ 75 / 25 ;
• paire contre paire inférieure : environ 80 / 20.

Une main favorite à 80 % perd encore une fois sur cinq. Sur dix tapis préflop avec la paire d’As contre la paire de Rois, deux défaites n’ont rien d’anormal, et trois arrivent régulièrement sur un si petit nombre de coups. Le calcul exact contre une fourchette complète se fait avec un calculateur d’équité comme Equilab, gratuit sous Windows.

Espérance de gain : la décision finale

L’espérance de gain réunit tout : pour chaque option, on multiplie chaque résultat possible par sa probabilité et on additionne. Exemple : pot de 80 € à la river, l’adversaire mise 40 €. Si vous estimez qu’il bluffe 30 % du temps, payer rapporte en moyenne 0,30 × 120 − 0,70 × 40 = +8 €. Le call est rentable, même s’il perd sept fois sur dix.

J’ai longtemps payé « au feeling » dans ce genre de spot. Depuis que je fais le calcul après la session, avec les mains du tracker, les calls de river se décident beaucoup plus vite : un seuil de bluff à atteindre, une estimation honnête, et la réponse tombe.

Passer d’un pourcentage à une cote

Les deux écritures circulent, et il faut savoir passer de l’une à l’autre :

• Du pourcentage à la cote : (100 − p) / p. 20 % donne 80 / 20, soit 4 contre 1.
• De la cote au pourcentage : 1 / (cote + 1). Une cote de 3 contre 1 donne 1 / 4, soit 25 %.
• De la cote du pot à l’équité requise : mise à payer / (pot après votre call). Payer 20 € dans un pot qui contiendra 100 € demande 20 % d’équité.